小凯的疑惑（升级版） 题目+证明
几何微粒子
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2023-03-08 18:54:15
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个人记录
luogu上没有第2问的原题
PLUS题目：
小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。
每种金币小凯都有无数个。
在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些面额他是无法准确支付的。
现在小凯想知道：
1.在无法准确支付的面额中，最贵的面额是多少金币？
2.小凯一共有多少种不能准确支付的面额？
1问证明：
法1
不妨设 a < b
则设面值为 a 的硬币使用了 x 枚，面值为 b 的硬币用了 y 枚，需要支付的价格为 c
则 ax + by = c
则 ax \equiv c \pmod{b}
当然，请注意，对于上面两个式子，有 1 \le x \le b-1
显然， y \ge 0 时， c 可以被表示出来
则我们取 y = -1 时可以得到最大值 c = xa - b
又因为此时 x = b - 1 时再次得到最大值 c = ( b - 1 ) a - b
则化简得 c = ab - a - b
得到结论：表示不出的最大值为 ab - a - b
（然鹅该解法似乎有点答答滴瘟剔）
法2
ax + by = d $ 可写作 $ y = \displaystyle \frac{d}{b} - \frac{a}{b}x
故可以转换为
在平面直角坐标系上找到一个一次函数。
令该一次函数为 y = mx + n
则有 m = \displaystyle - \frac{a}{b} ，且整点不在坐标轴与1象限上。
则当 x = -1 且 y = a - 1 时，有最大解，为 ab - a - b
2问证明：
本质上而言，是第一问的这个三角形在整点上移动（因为是整数）
且保证 A点在2象限，B点在4象限，且截距（指y轴截距） > 0
则讨论出一共有 \displaystyle \frac{(a - 1)(b - 1)}{2} 种选择
故答案为 \displaystyle \frac{(a - 1)(b - 1)}{2}
放在最后
张老师，这\LaTeX真的不好打啊……建议下次留证明题干脆直接用全纸质的，望接纳